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By Olivier Debarre

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Thomas the Obscure

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The Fate of British and French Firms in China, 1949-54: Imperialism Imprisoned

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French Women’s Writing: Recent fiction

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Si x est dans K, on a TrL/K (x) = [L : K]x. 33. — Considérons l’extension Q ⊆ Q(i). Dans la base (1, i) du Q-espace vectoriel Q(i), la a −b matrice de l’endomorphisme ma+ib est . On a donc b a TrQ(i)/Q (a + ib) = 2a. 34. — Soient K → L et L → M des extensions de corps. On a TrM/K = TrL/K ◦ TrM/L . Démonstration. — On garde les notations de la preuve du th. 5 : (l1 , . . , lr ) est une base du K-espace vectoriel L et soit (m1 , . . , ms ) une base du L-espace vectoriel M , de sorte que (li mj )1 i r, 1 j s est une base du K-espace vectoriel M .

Ex. 29). Quel est le groupe de Galois (sur Q) (d’un corps de décomposition) de ce polynôme ? Dans le but d’étudier la constructibilité des polygones réguliers, nous nous intéressons maintenant au groupe de Galois des polynômes X n − 1 (on rappelle que le groupe de Galois d’un polynôme séparable est par convention le groupe de Galois d’un corps de décomposition). 7. — Soit K un corps et soit n un entier strictement positif non divisible par la caractéristique de K. Le groupe de Galois du polynôme séparable X n − 1 ∈ K[X] est isomorphe à un sous-groupe de (Z/nZ)∗ .

9. — Calculer ΦK n pour 1 n 6 et pour tout n premier. Pour tout entier n n 1, montrer l’égalité ΦK d (X). 10. — Soient m et n des entiers 2iπ/m Q(e ,e 2iπ/n 1. Déterminer un générateur pour les corps ) et Q(e2iπ/m ) ∩ Q(e2iπ/n ). 11. — Trouver un polynôme de groupe de Galois Z/4Z sur Q. Même question avec Z/3Z. 12. — Montrer qu’une extension finie de Q ne contient qu’un nombre fini de racines de l’unité. 13. — (Problème de Galois inverse sur Q pour les groupes abéliens finis) En utilisant à bon escient les faits suivants : • structure des groupes abéliens finis (th.

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